Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).

Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.

На основании второго закона динамики

с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения: ,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме:

Спроектировав соотношение (6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:

Спроектировав соотношение (6) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника:

Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

С помощью уравнений (7)-(9) ставятся и решаются две основные задачи динамики материальной точки.

Первая (прямая) задача динамики материальной точки :

зная массу материальной точки и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на материальной точки силы.

Например, если заданы уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (8):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи.

Вторая (обратная) задача динамики материальной точки:

зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Для несвободной материальной точки обычно необходимо, зная массу материальной точки и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.

Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения материальной точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (8) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

где C g , (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (11) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

В зависимости от значений постоянных C g , (g =1,2,…,6) уравнения (11) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

где – значения координат материальной точки и их производных в начальный момент времени t=0.

Используя начальные условия (13), формулы (12) и (11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

Из системы (14) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C g , (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (11), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Пусть точка М движется под действием нескольких сил (рис. 13.2). Составим основное уравнение динамики и спроектируем это векторное равенство на оси x , y , z :

Но проекции ускорения на оси есть вторые производные от координат точки по времени. Поэтому получим

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис. 13.3.).

в) Показать силы действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В примере 13.2 – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам (13.1): . Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка, в правой части – постоянные. Решение этих уравнений элементарно.

и

Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальные условия (при t = 0 x = 0, y = h , , ) в эти четыре уравнения: u cosa = C 1 , u sina = D 1 , 0 = С 2 , h = D 2 .

Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном виде

Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 13.4.).

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции по естественным осям

Составим основное уравнение динамики и спроектируем его на естественные оси

Так как то получим дифференциальные уравнения движения, такие

(13.2)

Здесь сила - сила трения. Если линия, по которой движется точка, гладкая, то Т =0 и тогда второе уравнение будет содержать только одну неизвестную – координату s :

Решив это уравнение, получим закон движения точки s=s(t) , а значит, при необходимости, и скорость и ускорение. Первое и третье уравнения (13.2) позволят найти реакции и .

Схема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 13.2). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси N и Т движутся вместе с лыжником. Так как траектория – плоская линия, то ось В , направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции на ось В действующих на лыжника сил будут равны нулю).

Дифференциальные уравнения по (13.2) получим такие

(13.3)

Первое уравнение получилось нелинейным: . Так как s =r j, то его можно переписать так: . Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Запишем Тогда в дифференциальном уравнении переменные разделятся: . Интегрирование дает решение Так как при t =0 j= 0 и , то С 1 =0 и а

Пусть Oxyz - инерциальная система координат, М - движущая точка массы m, - равнодействующая всех сил, приложенных к точке, - ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, - проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: - векторное дифференциальное уравнение; - скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где - проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; - проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь - проекция скорости на направление касательной, - радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b - заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы - силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси - начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у - вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( - угол наклона скорости к горизонту):

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси - касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил - веса и реакции связи таковы ( - угол наклона маятника к вертикали).

· Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
.

· Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:

· При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

С учетом того, что ,
где - тангенциальное ускорение;
- нормальное ускорение,
уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики

· Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

· Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени - для материальной точки;
- для механической системы.

· Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении - для материальной точки;
- для механической системы.

· Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
- при поступательном движении тела;
- при вращательном движении тела;
- при плоско-параллельном движении тела.

· Момент инерции цилиндра относительно его оси:
.

· Момент инерции стержня относительно оси z :
.

· Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х иy : .

· Момент инерции шара определяется по формуле:
.

· Работа силы тяжести:
,
где P - сила тяжести;
h - изменение положения тела по вертикали.

· Работа силы при вращательном движении тела
,
где M - момент силы,
w - угловая скорость тела.
Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера

· Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной :
.

· Для механической системы:
.

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а ). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Найти: N, T - ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О ), реакция нити Т - вдоль нити от точкиА к точке В .
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис.б ).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в ), из которого получаем:

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.

Ответ: .

Решение примеров