Непрерывность функции

Функция двух переменных f (x, y), определенная в точке (x 0 , y 0) и в некоторой окрестности ее, называется непрерывной в точке (x 0 , y 0), если предел этой функции в точке (x 0 , y 0) равен значению этой функции f(x 0 , y 0), т.е. если

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают свойствами, аналогичными свойствам непрерывных функций одной переменной.

Если в некоторой точке (x 0 , y 0) условие непрерывности не выполняется, то говорят, что функция f (x, y) в точке (x 0 , y 0) разрывна.

Дифференцирование функции двух переменных

Частные производные первого порядка

Еще более важной характеристикой изменения функции являются пределы:

Предел отношения

называется частной производной первого порядка функции z = f (x, y) по аргументу x (сокращенно - частной производной) и обозначается символами или или

Аналогично, предел

называется частной производной функции z =f (x, y) по аргументу y и обозначается символами или или.

Нахождение частных производных называется частным дифференцированием.

Из определения частной производной следует, что при нахождении ее по одному какому-нибудь частному аргументу, другой частный аргумент считается постоянной величиной. После выполнения дифференцирования, оба частных аргумента снова считаются переменными величинами. Говоря другими словами, частные производные и являются функциями двух переменных x и y.

Частные дифференциалы

Величина

называется главной линейной частью приращения? x f (линейной по отношению к приращению частного аргумента?x). Эта величинаназывается частным дифференциалом, и обозначается символом d x f.

Аналогично

Полный дифференциал функции двух переменных

По определению, полным дифференциалом функции двух переменных, обозначаемым символом d f, называется главная линейная часть полного приращения функции:

Полный дифференциал оказался равным сумме частных дифференциалов. Теперь формулу для полного дифференциала можно переписать так:

Подчеркнем, что формула для полного дифференциала получается в предположении, что частные производные первого порядка

непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y).

Функция, имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Чтобы функция двух переменных была дифференцируемой в точке, недостаточно, чтобы она имела в этой точке все частные производные. Необходимо, чтобы все эти частные производные были непрерывными в некоторой окрестности рассматриваемой точки.

Производные и дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных z =f (x, y). Выше уже отмечалось, что частные производные первого

сами являются функциями двух переменных, причем их можно дифференцировать по x и по y. Получаем производные высшего (второго) порядка:

Частных производных второго порядка оказалось уже четыре. Без доказательства высказывается утверждение: Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они и равны:

Рассмотрим теперь дифференциал первого порядка

Он является функцией от четырех аргументов: x, y, dx, dy, могущих принимать различные значения.

Дифференциал второго порядка вычисляем как дифференциал от дифференциала первого порядка: в предположении, что дифференциалы частных аргументов dx и dy - постоянные величины:

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что

и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если

< δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

(х 4 + у 2 ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

и

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 <

< δ.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя, описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть B – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1 Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции , а число – зависимой переменной .

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множествовсех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестностьточки–это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2 Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом: или .

Пример 1 Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда

.

Определение 3 Функция называется непрерывной в точке , если: 1)определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2 Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .

2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков

Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу приращение , получим частное приращение функции по переменной :

Величина называется полным прира-щением функции в точке .

Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .

Таким образом, по определению 4 имеем:

Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .

Пример 3 Найти частные производные функций:

Решение:

1 Чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :

Аналогично, считая постоянной величиной, находим :

.

.

Определение 5 Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

.

При нефиксированных : , а формулу полного дифференциала можно записать в виде

или .

Пример 4 Найти полный дифференциал функции .

Решение. Так как , то по формуле полного дифференциала находим

.

Частные производные и называют частными производными первого порядка.

Определение 6 Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

Или ; или ;

Или ; или .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

; и т. д.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

Дифференцируя и по переменным х и y , получим:

3 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7 Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума , а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными . В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь его.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1 Найти частные производные первого порядка: и .

2 Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3 Найти частные производные второго порядка: , , .

4 Вычислить значения частных производных второго порядка в каж-

дой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5 Найти экстремумы функции.

Пример 6 Найти экстремумы функции .

Решение:

1 Находим частные производные и :

; .

2 Для определения критических точек решаем систему уравнений:

или

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим:

, , ,

.

Находим значения y , соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: ; Таблица основных неопределенных интегралов выполняется равенство.

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом.

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство.

Обозначается предел следующим образом:

Пример 1. Найти предел.

Решение. Введем обозначение, откуда. При имеем, что. Тогда

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке, если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел; 3) этот предел равен значению функции в точке, т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2. Найти точки разрыва функции.

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или. Это окружность с центром в начале координат и радиусом. Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность.

Дискретная математика

Все логические операции, которые были рассмотрены в 3.2, распространяются и на функции нескольких переменных. Теперь будем рассматривать функции F(x1, x2,…, xn), где xi - логические переменные, которые принимают значения нуля или единицы...

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Если = a1b1. то =а1b1+а2b2 Теорема 1. Пусть (а1а2)(b1b2) - одномонотонные последовательности. Тогда Доказательство Действительно, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак...

Математическое программирование

Метод множителей Лагранжа можно использовать при построении критериев оптимальности для задач с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями...

Минимакс и многокритериальная оптимизация

Пусть имеется функция f(x) при x ? x, х = (х1, ... , хn). Рассмотрим все ее первые и вторые производные в точке: = 0, ; || || , -- положительно (отрицательно) определенная матрица. Тогда в таких точках будет наблюдаться соответственно минимум (максимум)...

Минимум функции многих переменных

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений...

Применение производной к решению задач

Определение 3. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности. Функция y=f(x) стремится к пределу b(yb) при x, стремящемся к a, если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было...

Пусть функция f(x) определена на (a, + ?). Число A называется пределом функции f(x) при x > + ? (обозначается A = lim x > + ? f(x)), если? ? > 0 ? N: ? x > N ? |f(x) ? a| < ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Решение заданий по высшей математике

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Число A называется пределом функции f(x) при x > x0 (или в точке x0), если для любого? > 0 найдется? > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x ? x0| < ?...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Будем рассматривать функции многих переменных f =f (x1, …, xn) как функции, заданные в точках х n-мерного евклидова пространства Еn: f =f (х). 1. Точка х*Еn, называется точкой глобального минимума функции f (х)...

Функции многих переменных

Функции многих переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов...

Функции нескольких переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству...

Функции нескольких переменных

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ()...

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) → (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ≠ (х 0 , у 0)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x , y ) ∙φ (x , y ) в точке (х 0 , у 0).

Теорема. если функция f (x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у

< δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких (x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x , y ) следует

откуда при A > 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f (x ) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке

, равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x ) → A (x → x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x 0 | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех х

U (x 0 ) , х ≠ x 0 , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f (x ) в x 0 , то А есть предел функции f (x 0 + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть ω = (ω 1 , ..., ω п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0 + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ ω)

от скалярной переменной t , где δ ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора ω.

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности x 0 , за исключением, быть может, x 0 , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f (x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x 0 | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство

.

Итак, предел функции f (x ) = f (x 1 , ..., х п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f (M ) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f (M ) – А | < ε.

Предел обозначают

В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M ) и f 2 (M ) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x , y ) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x , y ) в точке (x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в (x , y ) : функция f непрерывна в точке (x , y ) , если

(1"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 , у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f (x , y ) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x , y ) = х и f (x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке (x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x , y ) может быть доказана так.