На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?
Логарифмические неравенства - это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.
Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.
Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:
где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.
Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:
Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;
Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.
Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).
То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.
Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.
Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.
Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.
Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.
Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.
Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:
В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.
Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:
что равносильно такой вот системе:
\(\log_2{(8-x)}<1\) Решение: |
\(\log\)\(_{0,5}\)
\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)
\({(x+1)}\) Решение: |
Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:
Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)
\(>0\) |
|
\(\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Раскрываем скобки, приводим . |
\(\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
\(\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\) |
Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\)
и \(\frac{3}{2}\)
. Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль. |
|
Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. |
|
Записываем окончательный ответ. |
Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(x>0\) |
Приступим к решению. |
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем . |
\(t=\log_3x\) |
Раскладываем левую часть неравенства на . |
\(D=1+8=9\) |
|
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену. |
|
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Преобразовываем \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac{1}{3}\). |
\(\left[ \begin{gathered} \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется. |
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке. |
|
Запишем ответ. |
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.
Задача. Решите неравенство:
Для начала выпишем ОДЗ логарифма:
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
x
2 + 1 ≠ 1;
x
2 ≠ 0;
x
≠ 0.
Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:
Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:
(10 − (x
2 + 1)) · (x
2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x
2) · x
2 < 0;
(3 − x
) · (3 + x
) · x
2 < 0.
Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:
Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
Задача. Решите неравенство:
Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:
3x
− 2 = 0;
x
= 2/3.
Затем - нули знаменателя:
x
− 1 = 0;
x
= 1.
Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:
Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
log 2 (x
− 1) 2 < 2;
log 2 (x
− 1) 2 < log 2 2 2 .
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
(f
(x
) − g
(x
)) · (k
(x
) − 1) < 0;
((x
− 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x
2 − 2x
+ 1 − 4 < 0;
x
2 − 2x
− 3 < 0;
(x
− 3)(x
+ 1) < 0;
x
∈ (−1; 3).
Получили два множества:
Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.
Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.
Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.
Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.
Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.
Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.
Решим неравенства:
1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$
$D(y): \ x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:
$x+3 \geq 2^{3},$
$x \in }